Bonjour ! J’ai cette fiche d’activité à faire pour demain mais je ne comprend vraiment rien, est-ce que vous pourriez m’aider s’il vous plaît ? Merci d’avance :

Réponse :

Explications étape par étape

On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 cm et BC = 2 cm. M est un point qui se déplace sur DC.

On pose DM = x.

1) Notre objectif est de déterminer pour quelles valeurs de x le triangle AMB est rectangle en M.  

A quelle condition sur les longueurs, le triangle AMB est-il rectangle en M ?

AMB est rectangle en M si  AB² = AM² + MB²

2) a) Dans le triangle ADM rectangle en D, exprimer AM²  en fonction de x. Justifier.

Calculons AM²

AM² = AD² + DM²

AM² = 4 + x²

b) Dans le triangle BMC, exprimer BM² en fonction de x. Justifier.

Calculons MB²

MB² = BC² + MC²

MB² = 4 + (5-x)(5-x)

MB² = 4 + 25 - 5x - 5x + x²

MB² = x² - 10x + 29

3) a) Traduire par une équation d'inconnue x la condition vue à la question n°1  et montrer que cette équation peut s'écrire : 2x² - 10x + 8 = 0.

AMB est rectangle en M si  AB² = AM² + MB²

AB² = x² + 4 + x² - 10x + 29

AB² = 2x² - 10x + 33

25 = 2x² - 10x + 31  

2x² - 10x + 33 - 25 = 0

2x² - 10x + 8 = 0

b) Développer puis réduire l'expression P = (2x - 2) (x - 4)

P = (2x - 2)(x - 4)

P = 2x² - 8x - 2x + 8

c) En déduire, en utilisant les deux questions précédentes, une nouvelle équation produit nul.  La résoudre et conclure.

Nous venons de voir que :

(2x - 2)(x - 4) = 2x² - 8x - 2x + 8

donc  

(2x - 2)(x - 4) = 0

Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit  

que l'un des facteurs soit nul

2x - 2 = 0

2x = 2

x = 1

x - 4 = 0

x = 4

x = 1 et x = 4 sont  donc solutions à la question 1

Bonne soirée