Mathématiques

Question

Ex2: 
Sur la figure ci-contre, les points A, B, C et E, D, C sont alignés.
1. Démontrer que les droites (AE) et (BD) sont parallèles.
2. Calculer la longueur AC. On donnera la valeur arrondi au mm.
3. Calculer la mesure de l'angle EAC. On donnera la valeur arrondi au degré.
4. Trouver trois méthodes différentes pour calculer l'angle DBC puis calculer, au degré près, cet angle.

Ex2: Sur la figure ci-contre, les points A, B, C et E, D, C sont alignés. 1. Démontrer que les droites (AE) et (BD) sont parallèles. 2. Calculer la longueur AC.

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1 Réponse

  • 1)
    (AE) et (EC) sont perpendiculaires
    (BD) et (EC) sont perpendiculaires

    Si deux droites sont perpendiculaires à une même droites alors elles sont parallèles.
    Donc (AE) // (BD)

    2)
    AEC est rectangle en E. D'après Pythagore : 
    AC²  = AE² + EC²
    AC² = 5² + 8²
    AC² = 25 + 64
    AC² = 89
    AC = √89 ≈ 9,4 cm

    3)
    [tex]\tan \widehat{EAC}= \frac{EC}{AE}= \frac{8}{5} =1,6\\\\ \widehat{EAC} \approx58\°[/tex]
    [tex]\cos \widehat{ACE} = \frac{EC}{AC}= \frac{8}{9,4} \approx 0,85\\\\ \widehat{ACE}\approx32\°\\\\ \widehat{DBC}=180 - 90 - 32 = 58\°[/tex]
    4)
    Méthode 1 :

    (AE) // (BC), d'après Thalès : 
    [tex] \frac{BD}{AE}= \frac{CD}{CE}\\\\ BD = \frac{AE\times CD}{CE}= \frac{5\times 6}{8}= 3,75 [/tex]

    [tex]\tan \widehat{DBC}= \frac{DC}{BD}= \frac{6}{3,75}= 1,6\\\\ \widehat{DBC}\approx 58\°[/tex]


    Métode 2 :
    [tex]\widehat{EAC} \ et \ \widehat{DBC} \ sont \ alterne-interne \ donc :\\\\ \widehat{DBC} = \widehat{EAC} =58\°[/tex]

    Méthode 3 :

    [tex]\cos\widehat{ACE} = \frac{EC}{AC}= \frac{8}{9,4}\approx 0,85\\ \widehat{ACE} \approx32\°\\\\ \widehat{DBC} = 180 - 90 - 32 = 58\° [/tex]

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