1) Déterminer l’ensemble des définitions df de la fonction f F(x) = x^2 / x-3 2) justifier que f est dérivable sur Df et calculer f’(x) 3 ) en quels points la

Réponse :

Bonjour à toi

QUESTION ①)

f est définie si et seulement si le dénominateur ≠ 0, soit :

• x - 3 ≠ 0
• x ≠ 3

Df = ℝ\{3}

QUESTION ②)

u et v sont dérivables sur  ℝ et v est non nulle sur l'intervalle  ]-∞ ; 3[ ∪ ] 3 ; +∞[

, donc f est dérivable sur l'ensemble de définition ℝ\{3}.

 f' = (u'v-uv')/v², u' = 2x et v' = 1

• f'(x) = (2x(x-3)-x²)/(x-3)²
• f'(x) = (2x² -6x - x²)/(x-3)²
• f'(x) = (x²-6x)/(x-3)²

QUESTION ③)

y = f'(a)(x-a)+f(a), d'après la demi-équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a , le coefficient directeur est la dérivée de f(x).

f'(x) = 2

• (x²-6x)/(x-3)²= -2
• x²-6x = -2(x-3)²
• x²-6x = -2(x² - 6x + 9)
• x²-6x = -2x² +12x - 18
• x² - 6x + 2x² - 12 x + 18 = 0
• 3x² -18x +18 = 0
• x² - 6x + 6 = 0

On calcule le déterminant Δ = b²-4ac

• Δ = (-6)²-4 x 6
• Δ= 36 - 24
• Δ = 12 > 0 f'(x) = - 2 admet deux solutions

x1 = (-b-√Δ)/2a = (6 -√12)/2 = 3 -√3

x2 = (-b +√Δ)/2a = (6+√12)/2 = 3 +√3

C admet une tangente de coefficient directeur -2 aux points d'abysse 3 -√3 et 3+√3.