Équations différentielles et spécialités en terminale générale Bonjour j’aurais besoin d’aide pour la première question svp !!

Réponse : Bonjour,

1)a) On a:

[tex]\displaystyle f(t)=\frac{1}{z(t)}\\z'(t)=-\frac{f'(t)}{f(t)^{2}}[/tex]

Puis:

[tex]\displaystyle f'(t)=a f(t)(1-f(t))\\\frac{f'(t)}{f(t)}=a-a f(t)[/tex]

Or:

[tex]\displaystyle \frac{f'(t)}{f(t)}=-\frac{f'(t)}{f(t)^{2}} \times (-f(t))=z'(t) \times (-f(t))=z'(t) \times -\frac{1}{z(t)}=-\frac{z'(t)}{z(t)}[/tex]

Donc:

[tex]\displaystyle -\frac{z'(t)}{z(t)}=a-\frac{a}{z(t)}[/tex]

Enfin, on multiplie par [tex]z(t)[/tex], des deux côtés de l'équation:

[tex]\displaystyle -z'(t)=az(t)-a[/tex]