Bonjour, J’ai réussi à faire la question 1, mais j’ai du mal à faire la 2. J’ai trouvé 5 racines mais qui me semble pas cohérentes. Pourriez-vous m’aider ? Merc

Réponse :

Explications étape par étape :

■ 5 points seulement --> T ' es radin ? ☺

■ z² + z - 1 = 0 donne avec z = a + ib

  (a²-b²+ a - 1) + (2ab+b)i = 0

  donc a²-b²+a-1 = 0 et b(2a+1) = 0

■ cas b = 0 :

  a²+a-1 = 0 --> a ≈ 0,618 ou a ≈ -1,618 .

  z1 = 0,5(√5 - 1) ≈ 0,618

  z2 = -0,5(√5 + 1) ≈ -1,618

■ cas a = -0,5 :

   0,25 - b² - 0,5 - 1 = 0 --> b² = -1,25 ( impossible ! )

■ 1b) z^5 = 1 donne les solutions :

        z1 = e(0) ; z2 = e(2iπ/5) ; z3 = e(4iπ/5) ;

                         z4 = e(6iπ/5) ; z5 = e(8iπ/5) .

        polygone = pentagone !

■ 2a) z1 + z2 + z3 + z4 + z5 = 0 donne bien

        1 + w + w² + w³ + w^4 = 0 .

■ 2b) w³ est associé à l' angle 216°

         w²* est associé à l' angle -144°

         on a donc bien w³ = w²*

         w^4 est associé à l' angle 288°

         w* est associé à l' angle -72°

         on a donc bien w^4 = w* .

■ 3a) 1 + w + w² + w²* + w* = 0 donne

        1 + (w+w*) + (w²+w²*) = 0

        1 + 2cos72° + 2cos144° = 0

        0,5 + cos72° + cos144° = 0

        vérifié donc w+w* est bien solution !

■ 3b) cos(2π/5) = cos72° = 0,25(√5 - 1) ≈ 0,309

         sin(2π/5) = sin72° = √[(5+√5)/8] ≈ 0,951