Bonjour, Je vous demande de l’aide pour mon exercice de mathématiques ! Merci d’avance pour vos réponses !

Réponse :

f(x) = - 2 x    et  g(x) = 2 x²

1) a) démontrer que f est impaire, que peut-on en déduire pour Cf ?

          une fonction est dite impaire  si  f(- x) = - f(x)

         f(- x) = - 2 (- x) = - (- 2 x) = - f(x)     f est donc  impaire

       on en déduit que Cf possède un centre de symétrie qui est l'origine du repère

   b) démontrer que g est paire, que peut-on en déduire pour Cg ?

            une fonction est dite paire  si   g(- x) = g(x)

             g(- x) = 2(- x)² = 2 x² = g(x)   donc  g est paire

          on en déduit que Cg possède un axe de symétrie qui l'axe des ordonnées

2)  résoudre l'équation  g(x) = 2

    a) graphiquement :    S = {- 1 ; 1}

    b) algébriquement :  g(x) = 2  ⇔ 2 x² = 2  ⇔ x² = 1   ⇔ x = - 1 ou  x = 1

3) résoudre l'inéquation  f(x) > 0

  a) graphiquement :   S = ]- 2 ; 0[

  b) algébriquement :  f(x) > 0  ⇔ - 2 x > 0  ⇔ 2 x < 0  ⇔ x < 0  

⇔ l'ensemble des solutions  est   S = ]- 2 ; 0[

4) résoudre l'équation  f(x) = g(x)

   a) graphiquement :   S = {- 1 ; 0}

   b) algébriquement  f(x) = g(x)  ⇔ - 2 x =  2 x²  ⇔ 2 x² + 2 x = 0

⇔ 2 x(x + 1) = 0  ⇔ 2 x = 0  ⇔ x = 0  ou x + 1 = 0  ⇔ x = - 1

5) résoudre l'inéquation  f(x) < g(x)

   a) graphiquement :    S = ]- 2 ; - 1[U]0 ; 2[

   b) algébriquement :   f(x) < g(x)  ⇔ - 2 x < 2 x²  ⇔ 2 x² + 2 x > 0

⇔ 2 x(x + 1) > 0

   Tableau de signes

          x     - 2            - 1               0             2

        2 x             -                -        0       +

       x + 1            -        0      +                 +

          P              +        0      -         0      +

L'ensemble des solutions est :  S = ]-2 ; - 1[U]0 ; 2[  

Explications étape par étape