Dans un triangle ABC quelconque, on définit le point G par la relation vectorielle : GA + GB + GC = 0 1. a. À l'aide de la relation de Chasles, démontrer que AG

Réponse :

1.a. A l'aide de la relation de Chasles démontrer que :

  vec(AG) = 1/3(vec(AB) + vec(AC))

d'après la relation de Chasles ;  vec(AG) = vec(AB) + vec(BG)

vec(GB) = - (vec(GA) + vec(GC))  ⇔ - vec(BG) = - (vec(GA) + vec(GC))

donc  vec(BG) = vec(GA) + vec(GC)

et vec(GC) = vec(GA) + vec(AC)  d'après la relation de Chasles

donc  vec(AG) = vec(AB) + vec(GA) + vec(GC)

                        = vec(AB) + vec(GA) + vec(GA) + vec(AC)

                        = vec(AB) + vec(AC) - vec(AG) - vec(AG)

               3vec(AG) = vec(AB) + vec(AC)

         d'où   vec(AG) = 1/3(vec(AB) + vec(AC))

   2.a. que vaut la somme vec(A'B) + vec(A'C)

puisque A' milieu de (BC)  donc  vec(A'B) + vec(A'C) = 0

démontrer que vec(AG) = 2/3vec(AA')

  vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = vec(0)

  vec(GA) + vec(GA) + vec(AB) + vec(GA) + vec(AC) = 0

  3vec(GA) + vec(AB) + vec(AC) = 0

  3vec(GA) = - (vec(AB) + vec(AC))

 - 3vec(AG) = - (vec(AB) + vec(AC))

    3vec(AG) = vec(AB) + vec(AC)

                    = vec(AA') + vec(A'B) + vec(AA') + vec(A'C)   d'après la relation de Chasles

donc 3vec(AG) = 2vec(AA') + vec(A'B) + vec(A'C)   or vec(A'B) + vec(A'C) = 0

d'où  3vec(AG) = 2vec(AA')  ⇔ vec(AG) = 2/3vec(AA')

G  ∈ (AA')

b. B' le milieu du segment (AC)  

démontrer que le vecteur  BG = 2/3vec(BB')

sachant que vec(B'A) + vec(B'C) = 0

      vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = vec(0)

      vec(GB) +vec(BA) + vec(GB) + vec(GB) +vec(BC) = 0

  3vec(GB) + vec(BA) + vec(BC) = 0

  3vec(GB) = - (vec(BA) + vec(BC))

 - 3vec(BG) = - (vec(BA) + vec(BC))

   3vec(BG) = vec(BA) + vec(BC)

                    = vec(BB') + vec(B'A) + vec(BB') + vec(B'C)

                    = 2vec(BB') + vec(B'A) + vec(B'C)   or vec(B'A) + vec(B'C) = 0

    donc  3vec(BG) = 2vec(BB')  ⇔ vec(BG) = 2/3vec(BB')

G ∈ (BB')    

Explications étape par étape

Bonjour

pense à placer les flèches sur les vecteurs  :

1. a.

GA + GB + GC = 0

d'aprés a relation de Chasles GB = GA + AB et GC = GA + AC, ce qui donne :

GA + GA + AB + GA + AC= 0

3GA  + AB + AC = 0

-3GA = AB + AC

3AG = AB + AC

AG = 1/3 (AB + AC)   CQFD

b) cf piece jointe

2. a.)

Si A' le milieu du segment [BC] on peut écrire  A'B + A’C = 0

Comme A' est le milieu du côté [BC], on peut alors écrire que :

AB + AC = 2AA' on sait que AG = 1/3 (AB + AC) et par suite :

AG = 1/3(2AA')

AG = 2/3(AA')

Les vecteur AG et AA' sont colinéaires, donc A, G et A' sont alignés. ce qui veut dire que le point G fait partie de la médiane (AA') du triangle (ABC).

b) Si B' le milieu du segment [AC], on peut alors écrire que :

On sait  que GA+GB+GC=0

GA = GB + BA

GC = GB + BC

donc :

GB + BA + GB +  GB + BC = 0

3GB + BA + BC = 0

-3GB = BA + BC

3BG = BA + BC

ce qui donne :

BG = 1/3(BA+BC)

Mais :

BA +BC = 2BB'

il vient :

BG = 2/3(BB')

Les vecteur BG et BB' sont colinéaires, donc B, G et B' sont alignés. ce qui veut dire que le point G fait partie de la médiane (BB') du triangle (ABC).