Bonjour. Je remercie le savant qui saura résoudre ce petit exercice de fonctions.

Réponse :

Rappel:

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente

à la courbe représentative de f au point d’abscisse a a pour équation:

                                y = f (a) + f ′ (a)(x − a)

1)  

a.        Il faut lire la courbe

f(-3) = 4

Pour   a=-3, on a

y= f(-3) +f'(-3)(x+3) =4 + (x+3)f'(-3)

Or la tangente est horizontale et elle touche le point de coordonnées (-2,4)

c'est-à-dire y= 4 = 4 + (-2+3)f'(-3) => f'(-3) = 0.

Donc   f'(-3) = 0.

f(-1) = 2

la tangente à ce point a pour équation:

y = 2+(x+1)f'(-1).

Or la tangente passe par le point de coordonnées (-1,5 ; 3)

donc y = 3 = 2+(-1,5+1)f'(-1) =>     2-0.5*f'(-1) = 3

                                           => -0.5*f'(-1) = 1 => f'(-1) = -1/0.5 = -2

D'où f'(-1) = -2.

b.  le signe de f'(x) sur l'intervalle [-6,5].

D’après le graphique,

-La fonction f est croissante sur les intervalles [-6,-3] et [1;5}

Donc f'(x) [tex]\geq[/tex] 0 lorsque x est dans [-6,-3]U[1,5].

- La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [-3,1]

Donc f'(x) < 0 lorsque x est dans ]-3,-1[.

2. Résoudre graphiquement

-f(x) > 0

La solution de cette inéquation est la partie comprise entre 0 et f(-3)=4.

C'est-à-dire S = ]0,4[.

-(f(x)-2)^{2} = 4 les seules valeurs vérifiant cette équation sont 0 et 4.

Donc S={0,4}.