Dans un carre magique multiplicatif , les produits de ses lignes , de ses colonnes et de ses diagonales sont tous egaux. Complete le tableau ci-dessous avec ds

J'appelle les colonnes A la première, B la 2eme et C la troisième.
Les lignes 1, 2 et 3.
Donc la première case en haut à gauche est la case A1
Et ^ se lit puissance don 5 puissance 3 = 5^3

Remplissons le carré magique.
La ligne 2 nous permet de savoir a combien est égale 1 ligne ou colonne ou diagonale.
donc A2 x B2 x C2 = (5^3 x 7^4) x (5^-1 x 7^2) x 5^-5 = 5^(3-1-5) x 7^(4+2) = 5^-3 x 7^6

Dans la diagonale de gauche à droite nous connaissons A1 = 5^-4 x 7^3 et B2 = 5^-1 x 7^2
or
A1 x B2 x C3 = 5^3 x 7^4
donc
(5^-4 x 7^3) x (5^-1 x 7^2) x C3 = 5^-3 x 7^6
(5^(-4-1) x 7^(3+2)) x C3 = 5^-3 x 7^6
(5^-5 x 7^5) x C3 = 5^-3 x 7^6
d'où
C3 = (5^-3 x 7^6) / (5^-5 x 7^5)
C3 = (5^-3 x 7^6) x (5^5 x 7^-5)
C3 = (5^(-3+5) x 7^(6-5)
C3 = 5^2 x 7^1
C3 = 5^2 x 7

Dans la colonne A nous connaissons A1 = 5^-4 x 7^3 et A2 = 5^3 x 7^4
or
A1 x A2 X A3 = 5^-3 x 7^6
(5^-4 x 7^3) x (5^3 x 7^4) x A3 = 5^-3 x 7^6
(5^(-4+3) x 7^(3+4)) x A3 = 5^-3 x 7^6
(5^-1 x 7^7) x A3 = 5^-3 x 7^6
d'où
A3 = (5^-3 x 7^6) / (5^-1 x 7^7)
A3 = (5^-3 x 7^6) x (5^1 x 7^-7)
A3 = 5^(-3+1) x 7^(6-7)
A3 = 5^-2 x 7^-1

Nous connaissons maintenant A3 et C3 donc
A3 x B3 x C3 = 5^-3 x 7^6
(5^-2 x 7^-1) x B3 x (5^2 x 7^1) = 5^-3 x 7^6
(5^(-2+2) x 7^(-1+1) x B3 = 5^-3 x 7^6
5^0 x B3 = 5^-3 x 7^6
or 5^0 = 1
donc B3 = 5^-3 x 7^6

Dans la colonne B nous connaissons B2 et B3 donc
B1 x B2 x B3 =  5^-3 x 7^6
B1 x (5^-1 x 7^2) x (5^-3 x 7^6) = 5^-3 x 7^6
B1 x (5^-1 x 7^2) = (5^-3 x 7^6) / (5^-3 x 7^6)
B1 x (5^-1 x 7^2) = 5^0 x 7^0
d'où
B1 = (5^0 x 7^0) / (5^-1 x 7^2)
B1 = (5^0 x 7^0) x (5^1 x 7^-2)
B1 = 5^1 x 7^-2

Dans la colonne C nous connaissons C2 et C3 donc
C1 x C2 x C3 = 5^-3 x 7^6
C1 x 5^-5 x (5^2 x 7^1) = 5^-3 x 7^6
C1 x (5^(-5+2) x 7^1) = 5^-3 x 7^6
C1 x (5^-3 x 7^1) = 5^-3 x 7^6
d'où
C1 = (5^-3 x 7^6) / (5^-3 x 7^1)
C1 = (5^-3 x 7^6) x (5^3 x 7^-1)
C1 = 5^(-3+3) x 7^(6-1)
C1 = 5^0 x 7^5
C1 = 7^5