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Question

Bonjour pourrez vous m’aider svp ? :
On considère la fonction définie sur l’intervalle [−5 ; 2] par : () = (−52 + 5).
1) a. Calculer ′().
b. Dresser le tableau de variations complet de la fonction sur [−5 ; 2].
2) Montrer que l’équation () = 0 admet deux solutions sur l’intervalle [−5 ; 2].
3) a.Montrerque,pourtout∈[−5;2],′′() = −(52+20 +5).
b. Etudier la convexité de la fonction sur [−5 ; 2].
4) Bonus :
Montrer que la fonction définie sur [−5 ; 2] par () = (−52 + 10 − 5) est une primitive de .
Bonjour pourrez vous m’aider svp ? : On considère la fonction définie sur l’intervalle [−5 ; 2] par : () = (−52 + 5). 1) a. Calculer ′(). b. Dresser le tableau

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour, merci pour la photocopie de l'énoncé car ce que tu as écrit est incompréhensible.

    Explications étape par étape

    f(x)=(-5x²+5)e^x sur [-5; 2]

    1-a) f(x) est un produit u*v sa dérivée est donc u'v+v'u

    u=-5x²+5,    u'=-10x

    v=e^x ,   v'=e^x

    f'(x)=-10x(e^x)+(e^x)(-5x²+5)=(-5x²-10x+5)e^x= 5(-x²-2x+1)e^x

    Le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de -x²-2x+1

    via delta on voit que f'(x)=0 pour x1=-1-V2    et x2=-1+V2

    1-b) On calcule

    f(-5)=-0,2 (environ)  f(x1) =... qui est une valeur négative  <f(-5) ; f(x2)=.... qui est une valeur >0  et f(2) =...... qui est une valeur <0

    Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

    x      -5                          x1                                    x2                         +2

    f'(x)              -                 0                +                   0            -

    f(x)  f(-5)............D..........f(x1)..............C.....................f(x2)..........D..............f(2)

    2) D'après le TVI on note que f(x) =0 admet deux solutions  l'une entre x1 et x2  et l'autre entre x2 et 2.

    3) la convexité d'une courbe est donnée part le signe de la dérivée seconde

    Calcul de f"(x),  même méthode que pour f'(x)  

    u=-5x²-10x+5      u'=-10x-10

    v=e^x    v'=e^x

    f"(x)=(-10x-10)e^x  +(e^x)(-5x²-10x+5)=(-5x²-20x-5)e^x=5(-x²-4x+1)e^x  (réponse donnée dans l'énoncé)

    le signe de cette dérivée seconde dépend uniquement du signe de -x²-4x+1

    via delta on voit que f"(x)=0 pour x3=-2-V3   et x4=-2+V3

    f"(x) est >0  sur ]x3 ; x4 [  la courbe est convexe sur cet intervalle

    f"(x) est <0 sur  [-5; x3[ U]x4;+2]la courbe est concave sur ces intervalles.

    4) Il suffit de dérivée F(x) pour retrouver f(x)

    F'(x)=(-10x+10)(e^x)+(e^x)(-5x²+10x-5)=(-5x²+5)e^x

    on a F'(x)=f(x) donc F(x) est une primitive de f(x)

    .

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