A et B sont deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 42 et dont le produit  est égal a 127 008 Donner, en justifiant, toutes les valeurs possibles pour a et

Les couples (X;Y) avec X et Y entiers possibles sont:
(42;3024)
(84;1512)
(126;1008)
(168;756)
(252;504)
(336;378)
(504;252)
(756;168)
(1008;126)
(1512;84)
(3024;42)

Justification:

Soit X et Y deux entiers naturels tels que X*Y=127008
Or on sait que X et Y ont un PGCD égal à 42 donc on pose:
X = x*42  et Y=y*42
Ainsi
x*42*y*42= 127008 
⇔x*y = [tex] \frac{127008}{42*42} [/tex] 
⇔x*y = 72

On cherche toutes les valeurs possibles de x et y pour x*y = 72 et on obtient:
1*72=72                    9*8=72
2*36=72                    12*6=72
3*24=72                    18*4 = 72
4*18=72                    24*3=72
6*12=72                    36*2=72
8*9=72                      72*1 = 72

On retrouve alors les valeurs de X et Y:
X= x*42 
⇔X = 1*42 = 42
ou X = 2*42 = 84
ou X = 3*42 = 126
ou X = 4*42 = 168
ou X = 6*42 = 252
ou X = 8*42 = 336
ou X = 9*42 = 378
ou X = 12*42 = 504
ou X = 18*42 = 756
ou X = 24*42 = 1008
ou X = 36*42 = 1512
ou X = 72*42 = 3024

Les valeurs de Y sont les mêmes. Seulement elles sont inversées par rapport à X de sorte à ce que X*Y=127008.

Les solutions sont donc toutes celles énoncées au début.