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Question

Bonjour pouvez vous m'aider svp je pense qu'il faut utiliser le produit scalaire mais je ne sais pas comment faire merci
On se place dans un carré ABCD.
Les points E, F, G et H sont placés sur
les côtés [AB], [BC], [CD] et [DAJ tels que
AE = BFCG = DH = KAB avec ke [0 ; 1). Montrer
que quelle que soit la valeur de k, le quadrilatère
EFGH est un carré.
Bonjour pouvez vous m'aider svp je pense qu'il faut utiliser le produit scalaire mais je ne sais pas comment faire merci On se place dans un carré ABCD. Les poi

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1 Réponse

  • Réponse :

    bonjour le quadrilatère EFGH est un carré si EF=EH et si HEF=pi/2

    Explications étape par étape :

    Plaçons nous dans le repère (A; vecAB;vecAD)

    coordonnées des points  A(0; 0); B(1; 0) , D(0; 1), E(k;0) ;F(1;k) , H(0;1-k)

    Avec le produit scalaire on vérifie que les vecteurs EH et EF ont le même module et sont perpendiculaires

    vecEH= (-k;1-k)   vecEF(1-k;k)

    EH²=(-k)²+(1-k)²=1+2k²-2k

    EF²=(1-k)²+k²=1+2k²-2k

    on en déduit que EF=EH

    Produit scalaire vecEH*vecEF=(-k)(1-k)+k(1-k)=0

    ces deux vecteurs sont donc perpendiculaires.

    Le quadrilatère est  un carré .

    Nota: On aurait pu utiliser les coefficients directeurs des droites (EH) et (EF) et vérifier que le produit de ces deux coef. directeurs =-1 donc que les droites sont perpendiculaires.

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