Bonjour, quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire l'exercice en pièce jointe s'il vous plaît ? Merci pour votre aide.

Réponse :

f(x) = (1.5 x² - 4 x + 1)/(2 x + 1)

1) déterminer l'ensemble de définition D de la fonction f

              Df = R \ {- 1/2}

2) a) montrer que f '(x) = (3 x² + 3 x - 6)/(2 x + 1)²

f '(x) = (u/v) ' = (u'v - v'u)/v²

u = 1.5 x² - 4 x + 1 ⇒ u ' = 3 x - 4

v = 2 x + 1  ⇒ v ' = 2

d'où  f '(x) = [(3 x - 4)(2 x + 1) - 2(1.5 x² - 4 x + 1)]/(2 x + 1)²

                = (6 x² - 5 x - 4 - 3 x² + 8 x - 2)/(2 x + 1)²

              f '(x) = (3 x² + 3 x - 6)/(2 x + 1)²

      b) étudier le signe de f '(x) sur Df puis dresser le tableau de variation de f sur Df

        f '(x) = (3 x² + 3 x - 6)/(2 x + 1)²   or  (2 x + 1)² > 0

 donc le signe de f '(x) dépend du signe de 3 x² + 3 x - 6

⇔ 3(x² + x - 2) = 0  ⇔ x² + x - 2 = 0

Δ = 1 + 8 = 9  ⇒ √9 = 3

x1 = - 1+3)/2 = 1

x2 = - 1 - 3)/2 = - 2

  x   - ∞              - 2     - 1/2       1               + ∞

f'(x)             +       0     -  ||    -    0        +

tableau de variation de f sur Df

            x   - ∞                     - 2                       - 1/2                 1                    + ∞

         f(x)   - ∞→→→→→→→→→ - 5 →→→→→→→→→- ∞ ||+ ∞→→→→→ 2.2→→→→→→→ + ∞

                      croissante            décroissante    décroissante    croissante

    c) l'équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse - 1

            y = f(-1) + f '(-1)(x + 1)

f(-1) = - 6.5

f '(-1) = - 6

     y = - 6.5 - 6(x + 1)

        = - 6.5 - 6 x - 6

    y = - 6 x - 12.5      

Explications étape par étape :