Merci beaucoup de m’aider à résoudre cet exercice : Soit f et g deux fonctions définies sur] 0 ;+∞ [ par f(x) = ln(x) et g(x) = (2/e)√x. Soit la fonction h défi
Question
Soit f et g deux fonctions définies sur] 0 ;+∞ [ par f(x) = ln(x) et g(x) = (2/e)√x.
Soit la fonction h définie sur ]0 ;∞[ par h(x) = g(x) – f(x).
1.calculer h(1).
2.montrer que h’(x) = (e-√x)/(ex√x) sur ]0 ;+∞ [
3.construire le tableau de signes de h’ et le tableau de variations de h.
4.en déduire le maximum de la fonction h sur ]0 : +∞[.
Soit F et G les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par F(x) = xln(x) – x et G(x) =(4/3e)(x√x).
5.montrer que F et G sont deux primitives de f et g.
6.en déduire ∫_1^e²▒〖g(x)〗 – [f(x)]dx.
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ h(x) = (2/e)√x - Lnx sur IR+* .
■ h(1) = 2/e .
■ dérivée h ' (x) = 1/(e√x) - 1/x = (x-e√x) / (xe√x)
cette dérivée est positive pour x-e√x > 0
√x - e > 0
√x > e
x > e²
■ tableau :
x --> 1 5 e² 15 +∞
h ' (x) -> - 0 +
h(x) --> 2/e 0,04 0 0,14
■ Minimum ( e² ; 0 ) .
■ F(x) = xLnx - x donne F ' (x) = Lnx + 1 - 1 = Lnx = f(x)
G(x) = (4/3e) (x√x) donne G ' (x) = (2/e) √x = g(x) .
■ on s' intéresse à la Surface comprise entre la courbe
et l' axe des abscisses pour 1 ≤ x ≤ e² :
Surface = (4/3e) e³ - e² - (4/3e) - 1 = e²/3 - (4/3e) - 1 ≈ 0,97 .
■ vérif :
la Surface étudiée est inférieure à celle du triangle
de hauteur 2/e et de base (e² - 1)
Surface du triangle = (e² - 1) * 1/e = e - 1/e ≈ 2,35