on pose Sn=1+2+...+n et Cn=1³+2³+...+n³ a. calculer Sn et Cn pour n=1, n=2,n=3, n=4, quelle conjecture peut on émettre? b. démontrer que, pour tout entier natur

On va démontrer par récurrence que
Cn= n²(n+1)²/4
l'initialisation
C1=1^3=1
1²(1+1)²/4=1
hérédité:
on va supposer que Cn= n²(n+1)²/4 est vraie et on va montrer qu'alors
C(n+1)=(n+1)²(n+2)²/4 (c'est la propriété au rang (n+1))
C(n+1)=Cn + (n+1)^3
=n²(n+1)²/4 + (n+1)^3 (on utilise l'hypothèse de récurrence)
=[n²(n+1)² + 4 (n+1)^3]/4 (on réduit au même dénominateur)
=(n+1)²(n²+4(n+1))/4 (on met en facteur (n+1)²
=(n+1)²(n²+4n+4)/4
=(n+1)²(n+2)²/4
Donc la propriété est démontrée.