Bonjour, pouvez vous m'aider pour ce devoir maison s'il vous plaît ? Je dois le rendre pour le 6 avril Merci infiniment

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Au moins , toi, tu t'y prends longtemps à l'avance . Bravo !

1)

y=41-x-x-1-1=41-2x-2=41-2(x+1)

2)

Si on  veut que la boîte ait des faces latérales qui ne soient pas réduites à rien , donc si on veut avoir une vraie boîte , il faut :

y > 0 soit :

41-2(x+1) > 0 soit :

2(x+1) < 41

x+1 < 20.5

x < 19.5

Et bien sûr il faut x > 0.

Donc : x ∈ ]0;19.5[

3)

On va considérer que les bases de la boîte sont les carrés de côté "x" .

Donc la hauteur est y=41-2(x+1)

Volume =  aire base x hauteur

V(x)=x²[41-2(x+1)]

V(x)=x²(41-2x-2)

V(x)=x²(39-2x)

V(x)=39x²-2x³

4)

On développe la partie droite :

(x-18)(x-6)(-2x-9)=(x²-6x-18x+108)(-2x-9)=(x²-24x+108)(-2x-9)

=-2x³-9x²+48x²+216x-216x-972=...je te laisse finir et trouver :

=39x²-2x³-972

5)

On veut V(x) > 972 soit :

V(x)-972 > 0 soit :

39x²-2x³-972 > 0

Mais : 39x²-2x³-972 = (x-18)(x-6)(-2x-9)

Donc on doit résoudre :

(x-18)(x-6)(-2x-9) > 0.

x-18 > 0 pour x > 18

x-6 > 0 pour x > 6

-2x-9 > 0 pour x < -9/2

Tableau de signes :

x---------->0..............6.................18................19.5

(x-18)---->........-.................-..........0..........+...........

(x-6)---->........-........0........+....................+............

(-2x-9)-->.......-...................-......................-......

Produit-->......-.......0.........+........0.........-..........

Donc V(x) > 972 pour x ∈ ]6;18[

6)

V(x)-2197=39x²-2x³-2197

On développe :

(-2x-13)(x-13)²=(-2x-13)(x²-26x+169)=

=-2x³+52x²-338x-13x²+338x-2197=..

Je te laisse finir et trouver : 39x²-2x³-2197

7)

V(x)-2197 est donc du signe de (-2x-13)(x-13)² .

Or :  (-2x-13)(x-13)² est du signe de (-2x-13) car (x-13)² est ≥ 0 car c'est un carré.

-2x-13 > 0 pour x < -13/2

Donc sur ]0;19.5[ , le facteur (-2x-13) < 0 et le produit (-2x-13)(x-13)²  est toujours ≤  0 et vaut zéro quand (x-13) =0 donc quand x=13.

Donc :

V(x)-2197 ≤ 0 et vaut zéro pour x=13.

Donc :

V(x) ≤ 2197

Le volume max est donc de 2197 cm³ atteint pour x=13 cm.

Graph joint non demandé.